Germe Fibonaccien / Fibonaccian Germ
Auteur : Laurent Frédéric Bernard François Lyaudet
Date : 2025/04/20
Petites corrections et un ajout le 2025/04/21

Hier, le 19 avril, j'ai lu un article grand public sur la théorie
de la morphogénèse de Turing.
Cette théorie avait été publiée dans Nature 2 ans avant sa mort.
Comme il avait observé que le nombre de pétales des marguerites
suivait les nombres de Fibonacci,
cela m'a donné une idée de quantifier l'écart à la suite de Fibonacci.

Yesterday, the 19th of April, I've read an article for general
audience on morphogenesis theory of Turing.
This theory was published in Nature 2 years before his death.
Since he observed that the number of petals of daisys followed the
Fibonacci numbers,
it gave me the idea to quantify the gap to the Fibonacci sequence.

Comme en lisant Knuth il y a des années,
j'ai appris qu'il y avait une revue de mathématiques entièrement
dévolue à la suite de Fibonacci,
il est possible que mes idées ci-dessous ne soient pas nouvelles
et puissent être retrouvées dans cette revue.

Since by reading Knuth many years ago,
I have learned that there is a mathematical journal totaly devoted
to the sequence of Fibonacci,
it is possible that my ideas below are not new,
and can be found in this journal.

Je commence par les idées que j'ai formalisées hier.

I begin with the ideas I formalized yesterday.

Soit i un entier strictement positif,
on note F(i) le i-ème terme de la suite de Fibonacci.

Let i be a strictly positive integer,
by F(i) we denote the i-th term of Fibonacci's sequence.

F(1) = 1, F(2) = 2, F(3) = 3, F(4) = 5, F(5) = 8, etc.

Propriété 1 : F(i+1) <= 2 F(i).

Property 1: F(i+1) <= 2 F(i).

Définition 1 (Germe Fibonaccien Relatif) :
Soient r un nombre réel positif et i un entier strictement positif,
le Germe Fibonaccien Relatif de r et i est GFR(r,i) = r/F(i).

Definition 1 (Relative Fibonaccian Germ):
Let r be a positive real number and i be a strictly positive integer,
the Relative Fibonaccian Germ of r and i is GFR(r,i) = r/F(i).

Définition 2 (Germe Fibonaccien de Type 1) :
Soit r un nombre réel positif,
le Germe Fibonaccien de Type 1 de r est
GFT1(r) = GFR(r, min {i; F(i) >= r}).

Definition 2 (Type 1 Fibonaccian Germ):
Let r be a positive real number,
the Type 1 Fibonaccian Germ of r is
GFT1(r) = GFR(r, min {i; F(i) >= r}).

Lemme 1 :
GFT1(r) \in [0,1]. Si r >= 1, GFT1(r) \in ]1/2,1].

Lemma 1:
GFT1(r) \in [0,1]. If r >= 1, GFT1(r) \in (1/2,1].

Voici les idées que j'ai formalisées aujourd'hui.

Now, these are the ideas I formalized today.

Définition 3 (Germe Fibonaccien de Type 2):
Soit r un nombre réel positif,
le Germe Fibonaccien de Type 2 de r est
GFT2(r) = GFR(r,i) avec i le plus petit entier strictement positif
tel que |1 - GFR(r,i)| = min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+}).

Definition 3 (Type 2 Fibonaccian Germ):
Let r be a positive real number,
the Type 2 Fibonaccian Germ of r is
GFT2(r) = GFR(r,i) with i the smallest strictly positive integer
such that |1 - GFR(r,i)| = min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+}).

Définition 4 (Germe Fibonaccien de Type 3) :
Soit r un nombre réel positif,
le Germe Fibonaccien de Type 3 de r est
GFT3(r) = GFR(r,i) avec i le plus grand entier strictement positif
tel que |1 - GFR(r,i)| = min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+}).

Definition 4 (Type 3 Fibonaccian Germ):
Let r be a positive real number,
the Type 3 Fibonaccian Germ of r is
GFT3(r) = GFR(r,i) with i the biggest strictly positive integer
such that |1 - GFR(r,i)| = min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+}).

Lemme 2 :
Si r >= 1,
|1 - GFT2(r)| < 1/2, GFT2(r) \in ]1/2,3/2[
et |1 - GFT3(r)| < 1/2, GFT3(r) \in ]1/2,3/2[.
Et GFT2(r) et GFT3(r) sont bien définis pour tout r >= 0.
Démonstration :
Soit i tel que GFT2(r) = GFR(r,i) ou GFT3(r) = GFR(r,i).
On a soit F(i) < r et il n'existe pas l tel que F(i) < F(l) < r,
soit r < F(i) et il n'existe pas l tel que r < F(l) < F(i).
a)Par l'absurde, s'il existe l, l != i,
  tel que F(i) < F(l) < r,
  alors GFR(r,l)-1 = |1-GFR(r,l)| < GFR(r,i)-1 = |1-GFR(r,i)|,
  ce qui contredit la minimalité de |1 - GFR(r,i)|.
  Donc si F(i) < r, par la propriété 1, |1 - GFR(r,i)| < 1/2.
b)Par l'absurde, s'il existe l, l != i,
  tel que r < F(l) < F(i),
  alors 1-GFR(r,l) = |1-GFR(r,l)| < 1-GFR(r,i) = |1-GFR(r,i)|,
  ce qui contredit la minimalité de |1 - GFR(r,i)|.
  Donc si r < F(i), par la propriété 1, |1 - GFR(r,i)| < 1/2,
  et min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+} est bien défini,
  et GFT2(r) est bien défini,
  et GFT3(r) est bien défini car le plus grand i est borné.

Lemma 2:
If r >= 1,
|1 - GFT2(r)| < 1/2, GFT2(r) \in (1/2,3/2)
and |1 - GFT3(r)| < 1/2, GFT3(r) \in (1/2,3/2).
And GFT2(r) and GFT3(r) are well defined for all r >= 0.
Proof :
Let i be such that GFT2(r) = GFR(r,i) or GFT3(r) = GFR(r,i).
Either we have F(i) < r and there is no l such that F(i) < F(l) < r,
or r < F(i) and there is no l such that r < F(l) < F(i).
a)For a contradiction, if there is l, l != i,
  such that F(i) < F(l) < r,
  then GFR(r,l)-1 = |1-GFR(r,l)| < GFR(r,i)-1 = |1-GFR(r,i)|,
  which contradicts minimality of |1 - GFR(r,i)|.
  So if F(i) < r, by Property 1, |1 - GFR(r,i)| < 1/2.
b)For a contradiction, if there is l, l != i,
  such that r < F(l) < F(i),
  then 1-GFR(r,l) = |1-GFR(r,l)| < 1-GFR(r,i) = |1-GFR(r,i)|,
  which contradicts minimality of |1 - GFR(r,i)|.
  So if r < F(i), by Property 1, |1 - GFR(r,i)| < 1/2,
  and min{|1 - GFR(r,j)|; j \in N+} is well defined,
  and GFT2(r) is well defined,
  and GFT3(r) is well defined since the biggest i is bounded.

Exemple 1 :
Pour r = 4/3, GFT2(r) = GFR(r,1) = 4/3 et GFT3(r) = GFR(r,2) = 2/3.

Example 1:
For r = 4/3, GFT2(r) = GFR(r,1) = 4/3 and GFT3(r) = GFR(r,2) = 2/3.

Lemme 3 :
Si r <= 1, GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r) = GFR(r,1) = r.

Lemma 3:
If r <= 1, GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r) = GFR(r,1) = r.

Lemme 4 :
Si GFT2(r) != GFT3(r), GFT1(r) = GFT3(r).

Lemma 4:
If GFT2(r) != GFT3(r), GFT1(r) = GFT3(r).

Lemme 5 :
Si GFT2(r) <= 1, GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r).

Lemma 5:
If GFT2(r) <= 1, GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r).

Lemme 5' :
Si GFT3(r) <= 1, GFT1(r) = GFT3(r).

Lemma 5':
If GFT3(r) <= 1, GFT1(r) = GFT3(r).

Lemme 6 :
Si GFT1(r) = 1 ou GFT2(r) = 1 ou GFT3(r) = 1,
GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r).

Lemma 6:
If GFT1(r) = 1 or GFT2(r) = 1 or GFT3(r) = 1,
GFT1(r) = GFT2(r) = GFT3(r).

Lemme 7 :
Si GFT3(r) > 1, GFT1(r) != GFT2(r) = GFT3(r).

Lemma 7:
If GFT3(r) > 1, GFT1(r) != GFT2(r) = GFT3(r).

Explication ajoutée le 2025/04/21 :
L'idée derrière toutes ces définitions est liée au fait que la suite
de Fibonacci est additive.
Donc si j'ai un coefficient c,
alors en multipliant les 2 premiers termes de la suite par c,
tous les termes se retrouvent multipliés par c:
F_c(1) = 1c, F_c(2) = 2c, F_c(3) = 3c, F_c(4) = 5c, F_c(5) = 8c, etc.
D'où cette idée de "germe" 'c', appliqué aux deux premiers termes.
On peut prendre c \in {GFT1(r), GFT2(r), GFT3(r)},
on retrouvera toujours le nombre r dans cette suite modifiée.

Explanation added the 2025/04/21:
The idea behind all these definitions is linked to the fact that the
Fibonacci sequence is additive.
Hence if I have a coefficient c,
then by multipliying the first two terms of the sequence by c,
all terms are multiplied by c:
F_c(1) = 1c, F_c(2) = 2c, F_c(3) = 3c, F_c(4) = 5c, F_c(5) = 8c, etc.
From this, the idea of "germ" 'c', applied to the first two terms.
We can take  c \in {GFT1(r), GFT2(r), GFT3(r)},
we will always find the number r in the modified sequence.